INTEGRAIS DE GRACELI.

SÉRIE TAYLOR- ANCELMO GRACELI.

FUNÇÕES GRACELI [ZETA, DELTA, GAMA, ETA, E OUTRAS [10]

SUPERFÍCIES, CURVAS E ESFERAS DE GRACELI.

COS Π

INTEGRAIS, SOMAS E SÉRIES DE GRACELI.

séries e integrais de Graceli.

Esta lista de séries matemáticas contém fórmulas para somas finitas e infinitas. Ela pode ser usada em conjunto com outras ferramentas para avaliar somas.

NÚMERO DE GRACELI =Gn= PI / 1.1 = 2.8559090
P = PROGRESSÃO.
Aqui, considera-se que $0^{0}$ vale $1$
$B_{n}(x)$ é um polinômio de Bernoulli.
$B_{n}$ é um número de Bernoulli, e aqui, $B_{1}=-{\frac {1}{2}}.$
$E_{n}$ é um número de Euler.
$\zeta (s)$ é a função zeta de Riemann.
$\Gamma (z)$ é a função gama.
$\psi _{n}(z)$ é uma função poligama.g
$\operatorname {Li} _{s}(z)$ é um polilogaritmo .
$n \choose k$ é o coeficiente binomial
$\exp(x)$ denota a exponencial

-S / PW

COS Π Gn [px] = an cos[-1/

\zeta (s)

]f[Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\quad {\mbox{sendo}}\quad a_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}

,/ / [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

onde ${\textstyle f(x)}$ é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de ${\textstyle f(x)}$ em torno do ponto ${\textstyle x=a}$ . Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem ${\textstyle n}$ em torno de ${\textstyle x=a}$ de uma dada função ${\textstyle n}$ -vezes diferenciável neste ponto é dado por:^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

p(x)=f(a)+f'(a){\frac {\left(x-a\right)^{1}}{1!}}+f''(a){\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2!}}+...+f^{(n)}(a){\frac {\left(x-a\right)^{n}}{n!}}

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

No caso particular de ${\textstyle a=0}$ , série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência

Toda série de Taylor possui um raio de convergência $R$ com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) $|x-a|\leq r<R$ .

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

f(x)={\begin{cases}\exp(-1/x)&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

cuja série de Taylor é :

f(x)=0+0x+0x^{2}+\ldots

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Série de Taylor associada a uma função

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.^[9]

A série de Taylor associada a uma função $f$ infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Onde, n! é o fatorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de ${\textstyle a=0}$ (Série de Maclaurin)

Função exponencial e logaritmo natural:

\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ para todo }}x

^[10]

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

\ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Série geométrica:

{\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Teorema binomial:

(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\alpha }{\alpha  \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ para todo }}\left|x\right|<1\quad {\mbox{ e todo complexo }}\alpha

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Funções trigonométricas:

\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..{\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

onde Bs são números de Bernoulli.

\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Funções hiperbólicas:

\sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

\cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

\tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

\mathrm {arcsenh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

\mathrm {arctanh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Função W de Lambert:

W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}

/ [Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Série de Taylor em várias variáveis

A série de Taylor pode também ser definida para funções de $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ .

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de $f$ em torno do ponto $X_{0}=(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})$ é dada por:

$f(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k},$

onde $\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})\right)^{k}$ denota ${\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(X_{0}).$

Ou seja, tem-se:

$\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k}=\sum \limits _{\alpha _{i}\in \mathbb {N} ,\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k}\left({\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}\cdot {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(X_{0})\cdot (x_{1}-x_{1}^{0})^{\alpha _{1}}\cdots (x_{n}-x_{n}^{0})^{\alpha _{n}}\right).$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

No caso particular $n=2$ , $X_{0}=(x_{0},y_{0}):$

$f(x,y)=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {k!}{i!(k-i)!}}\cdot {\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i}}}(X_{0})\cdot {\frac {\partial ^{k-i}f}{\partial y^{k-i}}}(X_{0})\cdot (x-x_{0})^{i}\cdot (y-y_{0})^{k-i}.$ ^[11]/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Séries de Maclaurin

As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde $a=0$ :

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}$

Dessa forma, a série pode ser expandida como:

$f(x)=f(0)(x-0)^{0}+{f'(0)(x-0)^{1} \over 1!}+{f''(0)(x-0)^{2} \over 2!}+{f'''(0)(x-0)^{3} \over 3!}+...$

Logo:

$f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+...$

Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0)\ x^{n} \over n!}$

Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\quad {\mbox{sendo}}\quad a_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

p(x)=f(a)+f'(a){\frac {\left(x-a\right)^{1}}{1!}}+f''(a){\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2!}}+...+f^{(n)}(a){\frac {\left(x-a\right)^{n}}{n!}}

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

No caso particular de ${\textstyle a=0}$ , série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Convergência

Toda série de Taylor possui um raio de convergência $R$ com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) $|x-a|\leq r<R$ .

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

f(x)={\begin{cases}\exp(-1/x)&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

cuja série de Taylor é :

f(x)=0+0x+0x^{2}+\ldots

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

Série de Taylor associada a uma função

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.^[9]

A série de Taylor associada a uma função $f$ infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

Onde, n! é o fatorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de ${\textstyle a=0}$ (Série de Maclaurin)

Função exponencial e logaritmo natural:

\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ para todo }}x

^[10]

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

\ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

Série geométrica:

{\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

Teorema binomial:

(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\alpha }{\alpha  \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ para todo }}\left|x\right|<1\quad {\mbox{ e todo complexo }}\alpha

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

Funções trigonométricas:

\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..{\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

onde Bs são números de Bernoulli.

\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

Funções hiperbólicas:

\sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

\cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

\tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

\mathrm {arcsenh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

\mathrm {arctanh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

Função W de Lambert:

W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}

Gn]=

+bn sen 1/ Gn [k[pr]

ph] =

Série de Taylor em várias variáveis

A série de Taylor pode também ser definida para funções de $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ .

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de $f$ em torno do ponto $X_{0}=(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})$ é dada por:

$f(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k},$

onde $\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})\right)^{k}$ denota ${\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(X_{0}).$

Ou seja, tem-se:

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph] =No caso particular $n=2$ , $X_{0}=(x_{0},y_{0}):$

Séries de Maclaurin

As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde $a=0$ :

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}$

Dessa forma, a série pode ser expandida como:

$f(x)=f(0)(x-0)^{0}+{f'(0)(x-0)^{1} \over 1!}+{f''(0)(x-0)^{2} \over 2!}+{f'''(0)(x-0)^{3} \over 3!}+...$

Logo:

$f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+...$

Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0)\ x^{n} \over n!}$

Pesquisar este blog

INTEGRAIS DE GRACELI.

Convergência

Série de Taylor associada a uma função

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de ${\textstyle a=0}$ (Série de Maclaurin)

Série de Taylor em várias variáveis

Séries de Maclaurin

Convergência

Série de Taylor associada a uma função

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de ${\textstyle a=0}$ (Série de Maclaurin)

Série de Taylor em várias variáveis

Séries de Maclaurin

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog

Convergência

Série de Taylor associada a uma função

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de (Série de Maclaurin)

Série de Taylor em várias variáveis

Séries de Maclaurin

Convergência

Série de Taylor associada a uma função

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de (Série de Maclaurin)

Série de Taylor em várias variáveis

Séries de Maclaurin

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de ${\textstyle a=0}$ (Série de Maclaurin)

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de ${\textstyle a=0}$ (Série de Maclaurin)